感悟數(shù)學(xué)思想方法 改善思維品質(zhì)是學(xué)習(xí)它的要旨所在

面對數(shù)學(xué)，有人畏懼退縮，有人如癡追求，還有人認(rèn)為是符號游戲和解題訓(xùn)練。事實上，數(shù)學(xué)之美在于縝密邏輯和高度抽象。如培根所言，數(shù)學(xué)是思維體操。感悟數(shù)學(xué)思想方法，改善思維品質(zhì)是學(xué)習(xí)它的要旨所在。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程應(yīng)如是：先學(xué)會從一些現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)概念并學(xué)會用數(shù)學(xué)語言給出嚴(yán)格的定義，再學(xué)會分析其中的基本規(guī)律并學(xué)會用公式進(jìn)行描述，然后推導(dǎo)出更多的結(jié)論并給出一些應(yīng)用。人們從事數(shù)學(xué)活動時所必需的各種能力的綜合就是數(shù)學(xué)能力，而數(shù)學(xué)能力的核心是數(shù)學(xué)思維能力。如果說思維是人的一種高級的心理活動形式，那么數(shù)學(xué)思維能力就是直接影響數(shù)學(xué)活動效率的，并使數(shù)學(xué)活動順利完成的個性心理特征。

在兒時充滿好奇的課堂講述高斯發(fā)現(xiàn)整數(shù)從1起依次加到100可以通過這些數(shù)首尾相加的和得到的童年故事，提出四邊形切去一個角還剩幾個角的問題;還有在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)時代構(gòu)建由“智能投屏+交互課件+創(chuàng)意道具+APP學(xué)習(xí)平臺”打造的魔法數(shù)學(xué)思維館等等，使我們看到科學(xué)家故事、腦筋急轉(zhuǎn)彎、趣味游戲、快速心算和思維啟蒙訓(xùn)練活動，可以讓兒童在游戲中培養(yǎng)數(shù)學(xué)感知，開發(fā)大腦潛能，鍛煉思維的邏輯性和抽象性。

邏輯思維的基本形式是概念、判斷、推理，是嚴(yán)密的理性思維過程。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重視通過解題訓(xùn)練，系統(tǒng)培養(yǎng)數(shù)學(xué)演算能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力和邏輯思維能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而其中邏輯思維能力尤為重要。一方面，解題過程注重推理能力的訓(xùn)練，如在函數(shù)板塊，根據(jù)函數(shù)的特性，利用數(shù)形結(jié)合，通過運(yùn)算或推理，來找出函數(shù)的數(shù)量關(guān)系等，解題推導(dǎo)過程要求條理性、邏輯性、靈活性及創(chuàng)新性，因此邏輯思維和推理論證扮演了非常重要的角色。另一方面，解題過程注重思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐囵B(yǎng)，要求學(xué)生思考縝密，言必有據(jù)，思路清晰，運(yùn)用正確的推理方法和推理格式，準(zhǔn)確而有條理地表述自己思維過程。數(shù)學(xué)邏輯思維是嚴(yán)密的理性思維能力，它的形成可以使學(xué)生能夠在頭腦中自覺地進(jìn)行邏輯建構(gòu)，這種思維模式的縝密性、條理性和思辨力會自覺用于一般問題的處理中，可使學(xué)生受益終身。

抽象思維是運(yùn)用抽象概念來透過表象反映本質(zhì)，達(dá)到統(tǒng)一表述的心理過程。在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，抽象思維的培養(yǎng)尤其重要。引入線性空間用于表述具有線性關(guān)系的數(shù)學(xué)對象的統(tǒng)一特征;引入矩陣特征值用于描述二次曲面的統(tǒng)一特征。又從無窮序列的變化思考，引出了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分的概念;還從一維空間的距離思考，引出了賦范空間、度量空間和拓?fù)淇臻g的課程內(nèi)容。大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，概念一次又一次抽象，眼界一次又一次打開，思維波濤一次又一次向前推進(jìn)。可以看到，當(dāng)人們擺脫直觀運(yùn)用符號高度抽象形成概念時，可以更深入看到問題本質(zhì)，提高思維效率，同時高度的抽象是為了更廣泛的應(yīng)用。因此，大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使學(xué)生在知識學(xué)習(xí)和解題訓(xùn)練的同時，心理素質(zhì)不斷提高，抽象思維和創(chuàng)新能力逐漸提升。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是空洞地了解概念、公式、原理和機(jī)械地解題。一方面，要將數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)與應(yīng)用相結(jié)合才能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，進(jìn)入到創(chuàng)造性想象的思維階段，使思維品質(zhì)進(jìn)一步升華。目前，高等學(xué)校組織的本科生科研訓(xùn)練計劃、數(shù)學(xué)建模競賽等活動，讓學(xué)生參與導(dǎo)師的科研活動，讓學(xué)生學(xué)會面對各種各樣復(fù)雜問題和環(huán)境，靈活運(yùn)用公式和法則，在活動中展現(xiàn)了他們的激情和創(chuàng)新思維能力。另一方面，在科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力日益成為國際競爭力和國際地位的最重要的決定因素。而作為現(xiàn)代思維方式的創(chuàng)造性思維是以邏輯抽象為基礎(chǔ)的思維，因此有必要在數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)和應(yīng)用體驗的同時，學(xué)會更多的理性思考和抽象思維的能力。目前，高校正在試行的小班化教學(xué)、線上線下混合教學(xué)模式等教學(xué)手段，這將帶來創(chuàng)新性思維品質(zhì)培養(yǎng)的活力和培養(yǎng)效率的提高。

在當(dāng)今社會，良好的思維習(xí)慣已滲透到生活各方面。疫情控制、社會治理和企業(yè)管理等都面臨著大量碎片化問題，需要邏輯思維，實行系統(tǒng)管理。大數(shù)據(jù)處理、人工智能和金融控制等都面臨著大量復(fù)雜數(shù)據(jù)或表象，需要抽象思維，找出共性特征和構(gòu)建模型，實行數(shù)據(jù)管理。可喜的是，目前計算機(jī)已能高度模擬人類的邏輯思維，就是應(yīng)用邏輯思維和抽象思維的最好體現(xiàn)。

青年人的思維習(xí)慣的框架正在形成，用數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練刺激大腦皮層，可以形成理性思維習(xí)慣，提高思維品質(zhì)。邏輯思維和抽象思維是創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的基礎(chǔ)。用數(shù)學(xué)所訓(xùn)練的思維觀察現(xiàn)實，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的語言、圖表、符號表示，進(jìn)行交流;通過理性思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)素質(zhì)，從一般到抽象，從抽象到一般，追求創(chuàng)新精神，這是新時代的要求和呼喚。

(作者：陳建龍 東南大學(xué)教授，教育部大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會委員，國家精品在線開放課程負(fù)責(zé)人，國家級線上線下混合式一流課程負(fù)責(zé)人，“十一五”“十二五”國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)》主編。)

標(biāo)簽： 數(shù)學(xué)思想