重磅！距今243年的“不可能”數學問題，在量子態中找到了解決方法

1779 年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）提出過著名的“三十六軍官問題”：即從不同的6個軍團各選6種不同軍階的6名軍官共36人，排成一個6行6列的方隊，使得各行各列的6名軍官恰好來自不同的軍團而且軍階各不相同，應如何排這個方隊？

問題提出后，很長一段時間沒有得到解決。20世紀初，科學家證明這樣的方隊是排不起來的。然而，在近日一篇提交給《物理評論快報》的一篇論文中，一組量子物理學家證明，可以以符合歐拉標準的方式安排 36 名軍官 —只要軍官可以擁有軍階和軍團的量子混合。這不僅是一個有趣的游戲，而且還可以應用于量子通信和量子計算。

2016 年，當時還在劍橋大學的 Jamie Vicary 與他的學生 Ben Musto，提出了可將拉丁方格中的條目量子化的設想，然后很快被一群對其深感興趣的理論物理學家和數學家們所采納。

去年，法國物理學家 Ion Nechita 和 Jordi Pillet 更是打造了數獨的量子版本—SudoQ。在 SudoQ 中，行、列、及其子方格各有 9 個垂直向量，而不是 0~9 的整數。

這些進步，促使波蘭雅蓋隆大學的博士后研究員Adam Burchardt和他的同事重新審視了三十六軍官問題。

在該問題的經典版本中，36 名軍官可被想象成五顏六色的棋子，他們的軍銜可以是國王、王后、象、馬、車、兵 6 級。但在量子版本中，軍官卻具有軍銜與軍團的疊加形態。更重要的是，這種特殊的糾纏關系，使之涉及不同實體之間的相關性。

例如，若一個“紅色國王”與一個“橙色皇后”糾纏在一起，那么即使國王和皇后都處于多個軍團的疊加狀態。只要觀察到國王是紅色、便可立即推出皇后是橙色 — 意味著每條線上的軍官都可垂直。

該理論似乎很有效，但為證明這一點，作者必須構建一個充滿量子軍官的 6×6 陣列。大量潛在的配置和糾纏，意味著他們必須依靠計算機的幫助。為此，研究人員插入了一個經典的近似解、并應用了一種算法，以將排列調整為真正的量子解。該算法的工作原理，類似于用蠻力解決魔方。

算法會先嘗試修復第一行，然后是第一列、第二列，以此類推。隨著算法一遍遍地重復，謎題陣列就越來越接近真正的解。最終，研究人員看到了對應的模式、并手動填入剩余的少數條目。

研究合著者，印度理工學院馬德拉斯分校物理學家 Suhail Rather 表示，他們的解法有一個令人驚訝的特點 — 軍銜僅與相鄰等級糾纏在一起，軍團也彼此相鄰。

另一個驚喜是出現在量子拉丁方格中的系數。這些系數本質上是告訴你在疊加中賦予不同項多少權重的數字。奇怪的是，該算法所采用的系數的比率是 Φ，即 1.618……，即著名的黃金比例。

該解法也被稱作絕對最大糾纏態（AME），作為一種量子對象的排列，它被認為對包括量子糾錯在內的許多應用都至關重要。

在AME中，量子對象測量值之間的相關性非常強：假設Alice和Bob是一對糾纏的硬幣，那么Alice在拋出正面后，Bob一定是背面，反之亦然。兩枚硬幣可最大程度地糾纏在一起，三枚也可以，但四枚就不行。如果Carol與Dave也參與其中，那Alice將永遠無法確定 Bob到底得出什么結果。

然而新研究表明，如果你有一組四糾纏的骰子，而不是硬幣，它們就可實現最大程度的糾纏 — 相當于 6×6 的量子拉丁陣列。由于答案中存在黃金比例，研究人員亦將之稱作“黃金 AME”。

研究人員此前已經開始設計其他的 AME，并找到了類似的量子版本。但是新發現的黃金 AME 是不同的，它沒有經典的加密模擬。Burchardt 認為，這些發現可能是新的量子糾錯碼。

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參考資料：https://www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/

標簽： 數學問題 量子態